eXTReMe Tracker

۰۶ آذر، ۱۳۸۷

بازی با ریاضی

در مسابقه‌ای به شما سه اتاق پیشنهاد می‌شود و می‌دانید در یکی از این اتاق‌ها یک ماشین است و بقیه خالی هستند. ‏شما یک اتاق را انتخاب می‌کنید. بعد مجری در یکی از اتاق‌های خالی را باز می‌کند. بعد رو به شما می‌کند و می‌پرسد آیا ‏می‌خواهید انتخاب خود را عوض کنید؟ شما می‌بینید که دو اتاق مانده و شانس شما پنجاه، پنجاه است پس فرقی ‏نمی‌کند که عوض کنید یا نه. ولی دارید اشتباه می‌کنید. اگر عوض کنید شانس برنده شدن شما افزایش می‌یابد. دیگر ‏شانس شما پنجاه درصد نیست بلکه به احتمال دو سوم برنده می‌شوید. چرا؟
احتمال‌هایی که وجود دارند این‌ها هستند.‏
‏1-‏ شما اتاقی را انتخاب می‌کنید که در آن ماشین است در این حالت با عوض کردن اتاق ماشین را از دست ‏می‌دهید.‏
‏2-‏ شما اتاقی را انتخاب کرده‌اید که در آن ماشین نیست. اگر اتاق خود را عوض کنید برنده می‌شوید.‏
‏3-‏ شما اتاقی را انتخاب کرده‌اید که در آن ماشین نیست . اگر اتاق خود را عوض کنید برنده می‌شوید.‏
در بتدا شانس شما برای انتخاب اتاق خالی دو سوم است که اگر در مرحله بعدی اتاق خود را با اتاق دیگر عوض کنید ‏اینبار با احتمال دو سوم برنده هستید. در این بازی شما شانس خود را که در ابتدا یک‌سوم بود به دو‌سوم افزایش ‏می‌دهید. ‏
مسائل خیلی وقت‌ها صورت ساده‌ای دارند ولی نکات فراوانی در آنها وجود دارد.‏



۱۵ نظر:

حرفه ای گفت...

اشتباه کردی. ببین دو حالت وجود داره
1-از اول میدونی که قراره مجری اتاقی رو باز کنه که خالیه. در این صورت کلاً مسأله انتخاب بین 2 اتاق مطرحه که میشه 50-50
2-نمی دونی که قراره مجری یه اتاق خالی رو باز کنه. در این صورت دو حالت هست:
2-1-اتاقی که شما انتخاب کردی هم ممکنه توسط مجری باز بشه که در این صورت شما یکی از حالتهایی که توضیح دادی رو از دست خواهی داد (اگر اتاق شما خالی باشه)
2-2- اتاقی که شما انتخاب کردی دست نخورده میمونه که در این صورت فقط دو اتاق باقی می مونه و باز هم شانس 50-50 هستش.
در واقع شما داری در شمارش احتمالها سه حالت در نظر میگیری. به این میگن احتمال شرطی. در احتمال شرطی هر زیرمجموعه یک ضریب داره که باید در اون ضرب بشه. یکی از اتاقهای شما (اتاقی که مجری انتخاب میکنه) دارای ضریب 0 هستش و در نتیجه یکی از حالتهایی که شما نوشتی اصولاً امکان پذیر نسیت

Amir Hossein گفت...

حرفه ای جان این مسئله حل شده است و جوابشم همونی هست که من نوشتم. یادم نیست در کدام دهه این سوال در یک مجله چاپ شد و خیلی ها از جمله دانشجویان دکتری ریاضی بعضی از دانشگاه های آمریکا به آن اشکال گرفتند ولی جواب همان است. یعنی شانس تو 50- 50 نیست.
1- این دقیقا یک احتمال شرطی است و مجری در هیچ برنامه ای اتاقی که در آن جایزه هست را باز نمی کند اتاق های خالی را باز می کند پس تو می دانی که او یک اتاق خالی را حذف خواهد کرد
2- احتمال اینکه تو در دفعه اول اتاقی را انتخاب کنی که در آن ماشین است یک سوم است پس تو می دانی که به احتمال دو سوم اشتباه انتخاب کرده ای وقتی مجری یک اتاق خالی را باز می کند تو با دو اتاق طرف هستی یک اتاق خودت که با شانس یک سوم در آن جایزه است و یکی اتاق باقیمانده که به درنتیجه احتمال بودن ماشین در اتاق دیگر دو سوم می شود

حرفه ای گفت...

من اصلاً کار ندارم که ملت چه حرفهایی سر این مسأله زده اند. لزوماً چیزی هم که تو کتابها میخونی چیز درستی نیست.
مسأله دقیقاً به همان لحظه بازکردن اتاق خالی برمی گردد. تا قبل از این لحظه از دید کسی که میداند کدام اتاق قرار است باز شود (مجری) احتمال برد در صورت تعویض اتاق 2/3 است اما از دید شخص عادی (شرکت کننده) هنوز تا قبل از بازشدن در یک اتاق احتمال برد 1/3 است.
درست بعد از باز شدن در همه چیز عوض می شود. اینجا احتمال شرطی پیش می آید. اینجا باید گفت به شرط خالی بودن اتاق شماره فلان احتمال برد شرکت کننده چقدر است. در این صورت ماشین یا در اتاق انتخاب شده است یا نیست. پس شانس حتماً 50-50 است.

به هر حال هر کسی نظری داره دیگه...این هم نظر منه

Aamirza_Mas گفت...

Man ba herfei moafegham...hala to chera ba riazi bazi mikoni? Dokhtar dame dastet nist?

Aamirza گفت...

ye comment dar bare description e blog...az sarma minevisam ke yakh nazaanam....

rahe halle behtar va pishnahadie olamaye eslam: bade nafkh dar mikonam ke garm sham...

Parinaz گفت...

OK!
I got it; but I believe that this path is practical not only for this problem, but also for the whole life!
Unfortunately life is a sad mixture of chance and talent; and those who have brilliant talent but no chance, are underdog...

Amir Hossein گفت...

حرفه ای جان درست است که هرچی که در کتاب نوشته اند لزوما درست نیست ولی بالاخره ملت ریاضی دان از من و تو بیشتر در این زمینه کار کرده اند و در ضمن اثبات آن را هم نوشته اند تئوری یا یه نظریه نیست که هر کس برای خودش نظر بدهد. فرق ریاضی با علوم دیگه این است که مطلق است و برای همه چیز اثبات دارند تا اثبات نکنند بیان نمی کنند و ایجوری هم نیست که هر کس برای خودش راجع به یک مسئله یه نظر بده.
در مورد این مسئله من حتی شکل کشیده ام تا حالت های موجود مشخص شود و من فکر می کنم که واضح است. با این حرفی که تو می زنی اتفاقا اصلا احتمال شرطی نیست این دقیقا مثل این است که از اول دو خانه وجود داشته و تو حق انتخاب یکی را داشتی ولی اینجا یک مرحله قبل هم وجود دارد که آن حذف یک خانه پوچ است. پس دیگر احتمال 50 درصد نیست و بالا تر می رود

Amir Hossein گفت...

آمیرزا بالاخره هر کسی با یه چیزی بازی می کنه بازی ما فقیر فقرا هم ریاضی است. اگر شما می خواهی چیزی "دنیت" کنی ما با کمال میل استقبال می کنیم

Amir Hossein گفت...

آمیرزا در مورد گرم کردن این روش ها قبلا تجربه شده اثر ندارد برای اینکه باور کنید این لینک ها رو نگاه کن
http://www.youtube.com/watch?v=TAvQVm09laA

http://www.youtube.com/watch?v=bezpdPGQxAQ

Amir Hossein گفت...

پریناز زندگی خیلی پیچیده است چون عوامل موثر در هر کاری ثابت و مشخص نیستند. ولی پشتکار و هوش باید همراه با شناخت و خواشتن باشد. من فکر می کنم کسی چیزی را بخواهد به آن می رسد ولی بعضی وقتها ما نمی خواهیم و یا چند چیز را می خواهیم

حرفه ای گفت...

من فکر میکردم قرار است در کامنت ها ادمها "نظر خودشان" را بگویند. گفتم که "این نظر من است". دوست ندارید نمی آییم دیگر. نقطه

Amir Hossein گفت...

بابا حرقه ای جان دلخور نشو اصلا نظر شما درست من اشتباه کردم
من می خواستم اشتباه یاد نگیری وگرنه برای من مهم نیست. حالا که اینطور شد همون 50-50 درسته
نقطه

ایمان گفت...

جهت تنویر افکار عمومی، ضمن ادای احترام خدمت دوستان عزیز، جناب حرفه ای و امیرحسین خان، چون فکر کردم ممکن است به خاطر کافی نبودن توضیحات، جناب حرفه ای به اشتباه افتاده باشند، لازم دیدم توضیح مختصری عرض کنم. جناب آرمان خان حرفه ای عزیزم! این مساله معروف به مساله مونتی هال و از پارادوکس های معروف علم آمار می باشد. به شما حق می دهم که اشتباه کرده باشید. برای روشن تر شدن، اینجور فکر کنید که با مساله ای روبرو هستید که درآن انتخاب اولیه اشتباه، منجر به برد نهایی می شود. چطور؟ در این مساله تنها در صورتی شما بازنده خواهید بود که از ابتدا اتاق صحیح را انتخاب کنید و در نهایت آنرا عوض کنید. چون شما هیچ علمی در هیچ مرحله ای نسبت به جواب ندارید، این احتمال برای شما 1/3 باقی می ماند و احتمال خطا (و برد نهایی در صورت تعویض اتاق) 2/3. اما چون می دانیم که مجری یک اتاق خالی را باز می کند، در این صورت اگر و تنها اگر از ابتدا اتاق غلط را برگزیده باشیم ، یعنی به احتمال 2/3، آنگاه با عوض کردن، با همین احتمال، برنده می شویم. این که می فرمایید شرکت کننده هیچ نمی داند پس کماکان احتمال 50-50 است، درست نیست. چون هیچ نمی داند، پس عقلا باید بر فرض اول خود بمانیم که ختم می شود به احتمال 1/3 و 2/3. امیدوارم که توضیحات کافی بوده باشد، در غیر این صورت می توانید به این لینک، اثبات کامل ارائه شده و مراجع مربوطه نگاهی بیندازید
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
در پایان لازم است اشاره کنم که همانطور که شما فرمودید اینجا آزادیم که نظراتمان را بیان کنیم و کسی چیزی را تحمیل نمی تواند بکند، اما در این مورد خاص، چون همانطور که امیرحسین خان دختر باز هم فرمودند، مساله کاملا عقلی و دارای اثبات ریاضی است (و شما هم در کامنت اول سعی داشتید به نوعی به زبان ریاضی اثباتی ارائه دهید) بنده لازم دیدم این توضیحات مفصل را خدمتتان معروض بدارم. اگر باز هم ابهامی باقی بود، می توانیم در زمان ناهار هم به جای بحث های شیرین جانبی (:دی) این بحث را ادامه دهیم که فکر نمی کنم لازم باشد! والسلام علی من اتبع الهدی. پایگاه مقاومت بسیج دانشگاه منیتوبا

حرفه ای گفت...

توضیح ایمان خوب بود اگر چه همونطور که گفتی اگه باشه و این این یک "پارادوکس" باشه قاعدتاً باید بپذیریم که میشه برداشتهای متناقض ازش داشت. در واقع پارادوکس ها جوابهای غیر یکسان و غیر کامل دارند.

امیر جان. هنر نیست که یک مسأله ای رو حل شده بخونی. ایمان اینجوری به مسأله نگاه نکرد و تونست جواب روشنتری بده اما تو سعی کردی فقط به اینکه "این قضیه اثبات شده" اصرار کنی

Amir Hossein گفت...

برادر رزمنده ایمان سلام
پیامت را مشاهده فرمودم ولی افسوس که در منطقه بودم و دسترسی به اینترنت محدود. جواب شما را جهت تنویر افکار عمومی اجر نهاده و از خداوند متعال خواستارم که این قلب دشمنان ما را نرم گرداند. باشد که رستگار شوند.
چهارم دسامبر المبارک سنه 2008 میلادی
سرتیپ جانباز- آزاده- خلبان- مهندس- دانشجو- مرجع بزرگوار تقلید آیت الله العظمی حاج سید امیرحسین بیرجندی